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题型:计算题 难度:适中 更新:2019/1/9 9:50:12

先阅读下面的材料然后解答问题。

在一条直线上有依次排列的n(n>1)台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P,使这n台机床到供应站P的距离总和最小,要解决这个问题先“退”到比较简单的情形:如图1-1-10①,如果直线上有2台机床时,很明显设在A1和A2之间的任何地方都行,因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离

 

图1-1-10

      如图②,如果直线上有3台机床时,不难判断,供应站设在中间一台机床A2处最合适,因为如果P放在A2处,甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离,而如果把P放到别处,如D处,那么甲和丙所走的距离之和仍是A1和A3的距离,可是乙还得走从A2到D的这段,这是多出来的,因此P放在A2处是最佳选择。

       不难知道如果直线上有4台机床P应设在第2台与第3台之间的任何地方;若有5台机床,P应设在第3台机床的位置。

问题(1):有n台机床时,P应设在何处?

问题(2):根据问题(1)的结论,求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值

【答案】

(1)n为偶数时,P应设在第台和第+1)台之间的任何地方;n为奇数时,P应设在台的位置

(2)95172

【解析】

(1)n为偶数时,P应设在第台和第+1)台之间的任何地方;n为奇数时,P应设在台的位置

(2)根据绝对值的几何意义求|x-1|+|x-2|+…+|x-617|的最小值,就是在数轴上找出表示x的点,使它到表示1,2,……617各点的距离之和最小。

根据问题(1)的结论,当x=309时,原式的值最小,最小值是:|309-1|+|309-2|+…+|309-308|+0+|309-310|+|309-311|+…+|309-616|+|309-617|=308+307+…+2+1+1+2+…+308=95172

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举一反三