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(10分)如图1,点P在正方形ABCD的对角线AC上,正方形的边长是a,Rt△PEF的两条直角边PE,PF分别交BC,DC于点M,N,

(1)操作发现

如图2,固定点P,使△PEF绕点P旋转,当PM⊥BC时,四边形PMCN是正方形,填空:

①当AP=2PC时,则四边形PMN的边长是        ;②当AP=nPC时(n是正实数),四边形PMCN的面积是         .

(2)猜想论证

如图3,改变四边形ABCD的形状为矩形,AB=a,AD=b,点P在矩形ABCD的对角线AC上,Rt△PEF的两条直角边PE,PF分别交BC,DC于点M,N,固定点P,使△PEF绕点P旋转,则=          .  

(3)拓展探究

当四边形ABCD满足条件:∠B+∠D=180⁰,∠EPF=∠BAD时其他条件同(2),则的值是否发生变化?并说明理由.

(10分)某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用y₁(千元)、乙厂的总费用y₂(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中所示

(1)甲厂的制版费为        千元,印刷费为平均每个        元,甲厂的费用y₁与证书数量x之间的函数关系式为        .

(2)当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费为平均每个        元；

(3)当印制证书数量超过2千个时,求乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式;

(4)若该单位需印制证书数量为8千个,该单位应选择哪个厂更节省费用?请说明理由.

(9分)如图,将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁,连接AD₁,BC₁若∠ACB=30°,AB=1,CC₁=x.

(1)若点O与点C1重合,求证:A1D1为⊙O的切线;

(2)①当x=          时,四边形ABC1D1是菱形;

②当x=          时,△BDD1为等边三角形.

(9分)关于x的一元二次方程(m-1)x²-2mx+m+1=0.

(1)求证方程有两个不相等的实数根;

(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数?

(9分)如图,电视塔附近有一个斜坡,小明在斜坡上点D观察电视塔塔尖A的仰角为54°,已知斜坡的坡角为30°,点D到坡底C的距离CD=30m,坡底C到电视塔塔底B的距离BC=60m,你能求出电视塔AB的高度吗?(sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan54°≈1.38,≈1.41,3≈1.73,结果精确到0.1m)

(9分)某中学为了预测本校应届毕业女生“一分钟跳绳”项目考试情况,从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试,并以测试数据为样本,绘制出如图所示的部分频数分布直方图

(从左到右依次分为六个小组,每小组含最小值,不含最大值)和扇形统计图.

根据统计图提供的信息解答下列问题

(1)补全频数分布直方图,这个样本的中位数落在第            小组；

(2)若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀,本校九年级女生共有260人,请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数;

(3)若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于170次的成绩记为满分,在这个样本中,从成绩为优秀的女生中任选一人,她的成绩为满分的概率是多少?