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证明:3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ=3ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ⁺²-2ⁿ=3ⁿ(3²+1)-2ⁿ(2²+1)=10×3ⁿ-5×2ⁿ

∵对任意非零自然数n,10×3ⁿ和5×2ⁿ都是10的倍数

∴3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ一定是10的倍数

(1)原式=x⁴-2x²+1-25x²=(x²-1)²-(5x)²=(x²-1+5x)(x²-1-5x)

（2）原式=a²-b²-c²+d²-2ad-2bc=a²-2ad+d²-b²-2bc-c²

=(a-d)²-(b+c)²=(a-d+b+c)(a-d-b-c)

(3)原式=a²+6ac+9c²-4ab-12bc+4b²=(a+3c)²-4b(a+3c)+4b²=(a+3c-2b)²

(1)原式=(ab+3)(ab+13);     

 (2)原式=(x-7y)(x+13y);

(3)原式=y²(y²-3y-28)=y²(y+4)(y-7);      

(4)原式=(2a-1)(a-36);

(5)原式=(x+3ab)(x+16ab);             

(6)原式=[3(m+n)+1][(m+n)-2]=(3m+3n+1)(m+n-2)

(7)原式=(ab+2cd)(7ab-6cd);

原式=(1+x)[(1+x)+x(1+x)+x(1+x)²+…+x(1+x)²⁰¹¹]

=(1+x)²[(1+x)+r(1+x)+x(1+x)²+…+x(1+x)²⁰¹⁰]

……

=(1+x)²⁰¹¹[(1+x)+x(1+x)]=(1+x)²⁰¹³

证明：设这两个连续偶数分别为2n，2n+2(n为整数),则

(2n+2)²-(2n)²=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=2(4n+2)=4(2n+1).

∴(2n+2)²-(2n)²能够被4整除.

(1)原式=(x-3y)(x+y)+3x-5y+2=(x-3y+1)(x+y+2)

(2) 原式=(2x-3y)(2x+y)-4x+10y-3=(2x-3y+1)(2x+y-3)